Przepraszam, sam się rozwiązałem.
Problemem jest kolejność deklarowania schematów.
Zadziałało, gdybym spróbował tej zmiany.
/* first, children's schema */
var ChildSchema = new Schema({
name: String,
}, {_id: false});
/* seconds, parent's schema */
var UserSchema = new Schema({
name: String,
children: [ChildSchema],
});