Data nie jest wysyłana do mysql

Spróbuj dodać znaczniki wokół pola daty w zapytaniu. Jeśli masz PEWNOŚĆ, że dane wejściowe są w formacie Y-m-d, najprawdopodobniej rozwiąże to Twój problem:

$date = date("Y-m-d", strtotime($_POST['date']));
$result = mysqli_query($link,"INSERT INTO visit_exclude_dates (date) VALUES ('{$date}')");

if(!$result) {
    echo "Error: " . $link->error);
    die();
}

$result->close();
$link->close();