Rozwiązałem się w ten sposób:Zalogowałem się z nazwą użytkownika root
mysql -u root -p -h localhost
Utworzyłem nowego użytkownika za pomocą
CREATE USER 'francesco'@'localhost' IDENTIFIED BY 'some_pass';
potem stworzyłem bazę danych
CREATE DATABASE shop;
Przydzieliłem uprawnienia nowemu użytkownikowi do tej bazy danych
GRANT ALL PRIVILEGES ON shop.* TO 'francesco'@'localhost';
Następnie wylogowałem roota i zalogowałem nowego użytkownika
quit;
mysql -u francesco -p -h localhost
Odbudowałem bazę danych za pomocą skryptu
source shop.sql;
I to wszystko.. Teraz z php działa bez problemów z wywołaniem
$conn = new mysqli("localhost", "francesco", "some_pass", "shop");
Dziękuję wszystkim za poświęcony czas :)