Muszę automatycznie_inkrementować pole w MySQL, które nie jest kluczem podstawowym

Wystarczy ustawić unikalny indeks na złożony z (nazwa użytkownika, data).

ALTER TABLE `table` ADD UNIQUE INDEX `name` (`username`, `date`);

Możesz też spróbować

ALTER TABLE `table` DROP PRIMARY KEY, ADD PRIMARY KEY(`username`,`date`);

i myślę, że w tym drugim przypadku konieczne jest zadeklarowanie tych kolumn jako NIE NULL.