MySQL łączy wiele do wielu w jednym rzędzie

Potrzebujesz dwóch złączeń:

SELECT
    product.productID,
    category.categoryID,
    product.name,
    product.price,
    category.name
FROM product
JOIN product_cat ON product.productID = product_cat.productID
JOIN category ON category.categoryID = product_cat.categoryID

Jeśli produkt nie może znajdować się w żadnej kategorii, a nadal chcesz go zwrócić, zmień JOIN na LEFT JOIN w obu miejscach.

Alternatywne podejście:

SELECT
    product.productID,
    product.name,
    product.price,
    GROUP_CONCAT(category.name)
FROM product
JOIN product_cat ON product.productID = product_cat.productID
JOIN category ON category.categoryID = product_cat.categoryID
GROUP BY product.productID

Jednak może być lepiej po prostu użyć dwóch zapytań zamiast umieszczać wiele wartości w jednej komórce.