Jak wstawić wartości z tablicy PHP do tabeli MySQL?

Po prostu zapomniałeś poprawnie ustawić cudzysłowy. Oto poprawna składnia:

$insert_query = "INSERT INTO user (name, email, phone) 
                 VALUES ('".$arr['name']."',
                         '".$arr['email']."', 
                         '".$arr['phone']."')";