Jak używać pól wyboru, aby wpisać true (1) lub false (0) do mySQL I pokazać jako zaznaczone w formularzu php / html?

Musisz nadać polam wyboru wyraźny indeks w kodzie HTML:

$i = 0;
while($shift_query = $result_shift_query->fetch_assoc())
    {
    echo "<tr>";    
    echo "<td><input type=\"hidden\" name=\"Shift_ID[]\"></td>";
    echo "<td><input type=\"text\" name=\"Shift_Name[]\"></td>";
    echo "<td><input type=\"text\" name=\"Shift_Short_Name[]\"></td>";
    echo "<td><input type=\"text\" name=\"Shift_Color[]\"></td>";
    echo "<td><input type=\"checkbox\" name=\"Shift_Trig[$i]\"";
        if($shift_query['Shift_Trig'] == '1')
            {
            echo " checked=\"checked\"";
            }
    echo " value=\"1\"></td>";
    echo "<td><input type=\"checkbox\" name=\"deleteBox[$i]\"></td>";
    echo "</tr>";
    $i++;
    }

W kodzie aktualizacji na początku pętli wykonaj:

    if (!isset($trig[$i])) { $trig[$i] = 0; }

Reszta kodu aktualizacji pozostaje niezmieniona.