SELECT * FROM people WHERE user_id='$user_id' ORDER BY time GROUP BY nazwisko

Masz błąd w swoim SQL, składni, podatności SQL-injection i prawdopodobnie używasz przestarzałego rozszerzenia bazy danych. A więc tak naprawdę powinno wyglądać:

$dsn = "mysql:dbname=$db_name;host=$db_host";
try{
    $pdo = new PDO($dsn, $username, $password);
}
catch(PDOException $e){
    die($e->getMessage());
}
$sql = "SELECT surname, count(id) FROM people WHERE user_token=:usr_token ORDER BY time GROUP BY surname";
$stmt = $pdo->prepare($sql);
if ($stmt->execute(array(':usr_token'=>$user_token))){
    $result = $stmt->fetchAll();
}
else{
    print_r($stmt->errorInfo());
    die("Error executing query");
}

Zapoznaj się z podręcznikiem PDO po szczegóły