Porządkowanie MySQL group_concat() według wartości instrukcji case

Możesz to zrobić, zamawiając według pozycji kolumny zamiast nazwa kolumny .

W Twoim przypadku ORDER BY 1 powinien działać.

SELECT 
  things.id
  ,group_concat(DISTINCT 
    CASE
    WHEN things.name <> 'United States' THEN 'Non-US'
    WHEN things.name IS NULL THEN 'Unknown'
    ELSE things.name
    END
  ORDER BY 1 SEPARATOR ', ')
FROM things
GROUP BY things.id