Jak sformatować tylko te rekordy, dla których nie wrzucono ORA-01843?

Użyj CASE wyrażenie, które sprawdza stan kolumny i tylko warunkowo próbuje przeanalizować jako poprawną datę:

SELECT
    MyColumn,
    CASE WHEN REGEXP_LIKE(MyColumn, '^\s*\d\d\d\d\d\d\s*$')
         THEN TO_CHAR(TO_DATE(TRIM(MyColumn), 'YYMMDD'), 'MM/DD/YYYY')
         ELSE MyColumn END AS new_col
FROM MyTable

Ale jako ogólny komentarz, powinieneś unikać przechowywania informacji o datach w tabelach w postaci tekstu. Widzisz teraz jeden z powodów, aby tego uniknąć.