Z Heroku Postgres nie otrzymasz dedykowanego serwera PostgreSQL. Twoje bazy danych znajdują się w jednej lokalizacji z bazami danych innych użytkowników na tym samym serwerze. Będziesz mógł zobaczyć nazwy baz danych innych użytkowników, ale nie będziesz mieć do nich dostępu.
Nie wiem, co oznacza „awaria mojego komputera”, ale upewnij się, że wybierasz swój bazy danych podczas próby połączenia.