Archiwizacja danych pomiędzy połączonymi serwerami - problem z transakcją

Czy próbowałeś ustawić XACT_ABORT na początku skryptu?

SET XACT_ABORT ON

Niezwiązane, ale nie można zapisać pętli jako:

-- Continue looping while rows exist
WHILE EXISTS (SELECT 1 FROM [LINKEDSERVER].MasterDatabase.dbo.Logging WITH(NOLOCK) 
              WHERE [Date] < @ArchiveDate)

Lub jeszcze lepiej, przepisz, aby nie uderzać w tabelę połączoną dwa razy podczas iteracji pętli.