I oczywiście odpowiedź znajduję od razu po zamieszczeniu pytania. Z tej odpowiedzi rozwiązaniem jest dodanie [BsonIgnoreIfDefault]
atrybut do identyfikatora. W przykładzie z pytania byłoby to:
public class MongoObject
{
[BsonId(IdGenerator = typeof(StringObjectIdGenerator))]
[BsonRepresentation(BsonType.ObjectId)]
[BsonIgnoreIfDefault] // <--- this is what was missing
public string MongoID { get; set; }
public int Index { get; set; }
}