Problem polega na tym, że wywołanie $dossier->program
w rzeczywistości nie uzyskuje dostępu do właściwości bezpośrednio w modelach typu Eloquent, ale raczej wywołuje __get
metoda.
Ta metoda get nie zwraca odwołania do właściwości. To, co powinieneś zrobić, to pobrać oryginalną właściwość, zmodyfikować ją, a następnie włożyć z powrotem:
$dossier=Dossier::where('_id',(int)$request->input('dossier_id'))->first();
$originalProgram = $dossier->program;
$originalProgram[$request->input('program')]['cities'][$request->input('city')]['services'][$request->input('service')][$request->input('name')]=$request->input('value');
$dossier->program = $originalProgram;
$dossier->save();