Próba uzyskania własności nieprzedmiotowej w

Sprawdź instrukcję dla mysql_fetch_object() . Zwraca obiekt, a nie tablicę obiektów.

Domyślam się, że chcesz czegoś takiego

$results = mysql_query("SELECT * FROM sidemenu WHERE `menu_id`='".$menu."' ORDER BY `id` ASC LIMIT 1", $con);

$sidemenus = array();
while ($sidemenu = mysql_fetch_object($results)) {
    $sidemenus[] = $sidemenu;
}

Czy mógłbym zasugerować, żebyś rzucił okiem na PDO. PDOStatement::fetchAll(PDO::FETCH_OBJ) robi to, co założyłeś mysql_fetch_object() robić