Właściwie to całkiem proste:
SELECT *
FROM `table`
WHERE `column` LIKE '%{$needle}%'
%
to symbol wieloznaczny dla dowolnego zestawu znaków (brak, jeden lub wiele). Pamiętaj, że może to działać wolniej w przypadku bardzo dużych zbiorów danych, więc jeśli Twoja baza danych się rozrośnie, będziesz musiał użyć indeksów pełnotekstowych.