Będziesz musiał stworzyć pośrednią aplikację internetową, która będzie łączyć się z bazą danych. Następnie możesz wykonać wywołania AJAX z rozszerzenia do interfejsu API Twojej aplikacji internetowej, co z kolei prześle zapytanie do bazy danych i zwróci wyniki.
Rozszerzenie Chrome → Web App API → MySQL
Więcej informacji o interfejsie Chrome AJAX API tutaj