Ostrzeżenie:mysql_num_rows() oczekuje, że parametr 1 będzie zasobem, podana wartość logiczna

Dzieje się tak, ponieważ mysql_query czasami zwraca wartość logiczną false (błąd zapytania). Musisz to sprawdzić:

$amn = mysql_query("SELECT * FROM `Messages` WHERE to_user='$usr' AND read='0'");

if($amn === false) {
    var_dump(mysql_error());
}
else {
    print_r(mysql_num_rows($amn));
}

Powyższy kod jest napisany w złym stylu i przestarzały. Używaj PDO z wyjątkami w rzeczywistych projektach.