$query = mysql_query("UPDATE article set com_count = $comments_count WHERE article_id = $art_id");
Zepsułeś cytaty i konkaty.
Możesz użyć wbudowanych zmiennych, jak w poprzednim przykładzie, lub połączyć je w następujący sposób:
$query = mysql_query("UPDATE article set com_count = " . $comments_count . " WHERE article_id = " . $art_id);