Dane są puste. Tej metody lub właściwości nie można wywołać na wartościach null. (przy użyciu pola kombi)

Jeśli jedno lub więcej pól zawiera NULL (DBNull.Value), nie możesz użyć GetString na nich.
Musisz sprawdzić, czy są one puste, używając metody IsDBNull i wybrać wartość, którą chcesz umieścić w polu tekstowym. Zwykle jest to pusty ciąg

private void comboBox1_SelectedIndexChanged(object sender, EventArgs e)
{
    string constring = "datasource=localhost;port=3306;username=root;password=root";
    string Query = "SELECT * from database.check WHERE patientname IS NOT NULL";
    using(MySqlConnection conDataBase = new MySqlConnection(constring))
    using(MySqlCommand cmdDataBase = new MySqlCommand(Query, conDataBase))
    {
        try
        {
            conDataBase.Open();
            using(MySqlDataReader myReader = cmdDataBase.ExecuteReader())
            {
                int namePos = myReader.GetOrdinal("namethestore");
                int checkerPos = myReader.GetOrdinal("checkername");
                while (myReader.Read())
                {
                    string namethestore = myReader.IsDBNull(namePos) 
                                          ? string.Empty 
                                          : myReader.GetString("namethestore");
                    string checkername = myReader.IsDBNull(checkerPos) 
                                          ? string.Empty
                                          : myReader.GetString("checkername");
                    this.textBox65.Text = namethestore;
                    this.textBox66.Text = checkername;
                }
           }
      }
}

Proponuję również użyć użycia wokół przedmiotów jednorazowego użytku. Zapewni to prawidłowe zamknięcie i usunięcie, gdy już ich nie potrzebujesz, również w przypadku wyjątków.....