Prosty skrypt Ajax Jquery — w jaki sposób mogę uzyskać informacje dla każdego wiersza w tabeli?

Stare rozszerzenie MySQL mysql jest przestarzały, lepiej użyj mysqli lub PDO !

mysql_fetch_row() zwraca tylko 1 wiersz! Musisz umieścić go w pętli, na przykład:

$data = array();
while ( $row = mysql_fetch_row($result) )
{
  $data[] = $row;
}
echo json_encode( $data );

Musisz także zmienić JavaScript:

$.ajax({                                      
  url: 'api.php', data: "", dataType: 'json',  success: function(rows)        
  {
    for (var i in rows)
    {
      var row = rows[i];          

      var id = row[0];
      var vname = row[1];
      $('#output').append("<b>id: </b>"+id+"<b> name: </b>"+vname)
                  .append("<hr />");
    } 
  } 
});

Swoją drogą polecam ci użycie mysql_fetch_assoc() ponieważ dzięki temu Twój kod jest bardziej elastyczny i czystszy.