wystąpił błąd krytyczny podczas wykonywania polecenia podczas aktualizacji

Sprawdź w tej linii

            cmd.Parameters.Clear();

            cmd.CommandText = "UPDATE contacts SET EMAIL = @EMAIL,
            CELL_NO = @CELL_NO Where STUDENT_NO = @STUDENT_NO";

            cmd.Parameters.AddWithValue("@EMAIL", email_txt.Text);
            cmd.Parameters.AddWithValue("@CELL_NO", contact_txt.Text);
            cmd.ExecuteNonQuery();
            cmd.Parameters.Clear();

Zmień na

            cmd.Parameters.Clear();
            cmd.CommandText = "UPDATE contacts SET EMAIL = @EMAIL,
            CELL_NO = @CELL_NO Where STUDENT_NO = @STUDENT_NO";

            cmd.Parameters.AddWithValue("@EMAIL", email_txt.Text);
            cmd.Parameters.AddWithValue("@CELL_NO", contact_txt.Text);
            cmd.Parameters.AddWithValue("@STUDENT_NOL",studentNo_txt.Text);
            cmd.ExecuteNonQuery();
            cmd.Parameters.Clear();

wyczyściłeś parametry, ale potem użyj @STUDENT_NO parametr. Ten parametr nie jest deklarowany w żadnym miejscu po wyczyszczeniu parametrów