Jak używać pól wyboru do pobierania określonych danych z bazy danych

Widzę co najmniej 2 błędy w Twoim kodzie.

1. wartości tablicy asocjacyjnej $column_names powinny być przekazywane jako nazwy pól, więc zakładam, że nie są one poprawne, ponieważ są w nich spacje (a jak wiem, wordpress domyślnie nie ma takich nazw pól.

2. jeśli użytkownik dokona wyboru, dodajesz kilka dodatkowych nazw pól, które są przekazywane przez użytkownika, i masz po nich dwukropek, co spowoduje wygenerowanie błędu.

Przepisałbym kod w ten sposób

<?php
$all = false;
$column_names = array('1' => '`field1`', '2' => '`field2`', '3' => '`field3`');
if(isset($_POST['columns'])){
    $column_entries = $_POST['columns'];
    $sql_columns = array();
    foreach($column_entries as $i) {
        if(array_key_exists($i, $column_names)) {
            $sql_columns[] = $column_names[$i];
        }
    }
    $sql_columns[] = "authorss";
    $sql_columns[] = "research_source";
    $sql_columns[] = "research_title";
} else {
    $all = true;
    $sql_columns[] = "*";
}

Również jak powiedziałeś, $wpdb->get_results zwraca już wyniki - tablicę, więc dlatego otrzymujesz błędy. Dodatkowo przed wywołaniem mysql_fetch_assoc lepiej sprawdzić, czy przekazany parametr to reource i czy liczba wierszy nie jest równa 0.

if($result!==false && mysql_num_rows($result)>0){
    while( $row = mysql_fetch_assoc($result)){
        ...
    }
}  

************* ZAKTUALIZUJ **********

zgodnie z ostatnimi zmianami wypróbuj ten kod:

<?php
$all = false;
$column_names = array('1' => '`authorss`', '2' => '`research_source`', '3' => '`research_title`');
if(isset($_POST['columns'])){
    $column_entries = $_POST['columns'];
    $sql_columns = array();
    foreach($column_entries as $i) {
        if(array_key_exists($i, $column_names)) {
            $sql_columns[] = $column_names[$i];
        }
    }
} else {
    $all = true;
    $sql_columns[] = "authorss";
    $sql_columns[] = "research_source";
    $sql_columns[] = "research_title";
}

global $wpdb;

//DNI CHECKBOX + ALL
$tmp = $wpdb->get_results( "SELECT ".implode(",", $sql_columns)." FROM wp_participants_database"); 


echo "<table border='1' style='width:450px'>
    <tr>
    <th>authorss</th>
    <th>research_source</th>
    <th>research_title</th>";
foreach($column_names as $k => $v) { 
    if($all || (is_array($column_entries) && in_array($k, $column_entries)))
        echo "<th>$v</th>";
}
echo "</tr>";

if(count($tmp)>0){
    for($i=0;$i<count($tmp);$i++){
        echo "<tr>";  
            foreach($tmp[$i] as $key=>$value){
                echo "<td>" . $value . "</td>";   
            }
            foreach($column_names as $k => $v) { 
                if($all || (is_array($column_entries) && in_array($k, $column_entries))) {
                    echo "<th>".$row[$v]."</th>";
                }
            }
        echo "</tr>";
    }
}

echo '</table>';
?>