Jak mogę wstawić dane do bazy danych MySQL?

Powinieneś po prostu wykonać polecenie

....
MySqlCommand command = connection.CreateCommand();
command.CommandText = "INSERT INTO tb_mitarbeiter (Vorname) VALUES ('tom')";
connection.Open();
command.ExecuteNonQuery();
....

Przypuszczam, że mitarbeiter to rzeczywista wartość, która powinna być ustawiona w bazie danych.
W takim przypadku pamiętaj o użyciu parametrów do wstawiania/aktualizowania danych

MySqlCommand command = connection.CreateCommand();
command.CommandText = "INSERT INTO tb_mitarbeiter (Vorname) VALUES (?name)";
command.Parameters.AddWithValue("?name", mitarbeiter);
connection.Open();
command.ExecuteNonQuery();