Patrząc na Twoje zapytanie, podejrzewam, że powinno ono być:
$query = "INSERT INTO tz_navbar (name) VALUES ('".$name."')";
Jeśli to nie rozwiąże problemu, musisz zarejestrować wartość $_REQUEST
error_log(print_r($_REQUEST,true));
aby upewnić się, że otrzymujesz właściwe wartości po stronie serwera.
