Grupa MySQL od kwartałów do okresów

To jest problem luk i wysp. Możesz to rozwiązać za pomocą funkcji okna (dostępne tylko w MySQL 8.0):

select 
    person,
    min(act_date) start_date,
    max(act_date) end_date
from (
    select
        t.*,
        sum(act_date <> lag_act_date + interval 15 minute)
            over(partition by person order by act_date) grp
    from (
        select 
            t.*,
            lag(act_date) 
                over(partition by person order by act_date) lag_act_date
        from mytable t
    ) t
) t
group by person, grp
order by min(act_date)

Pomysł polega na zbudowaniu grup sąsiednich rekordów przy użyciu sumy skumulowanej:za każdym razem, gdy pojawia się przerwa, która nie przekracza 15 minut, suma wzrasta.