Jak zaktualizować kolumnę MySQL na podstawie pola wyboru?

Kilka problemów, które znalazłem w Twoich zapytaniach

To

SELECT * FROM announce WHERE id == $ids

Powinien być

SELECT * FROM announce WHERE id = '$ids'

I to

UPDATE announce SET approv = 'approved'WHERE id == $idan

Powinien być

UPDATE announce SET approv = 'approved' WHERE id = '$idan'

Twoje pole wyboru nie ma również atrybutu wartości

<input type="checkbox" name="approv[]" value="<echo your table row id here>" />

Następnie użyj

foreach($_POST['approv'] as $apprValue)
{
    mysql_query(UPDATE announce SET approv = 'approved' WHERE id = '$apprValue');
}

Całkowicie na marginesie, proszę nie używać już funkcji mysql_*. Wkrótce zostaną wycofane. Lepiej wybrać mysqli lub PDO