Ponieważ znak \ jest używany przez sam operator LIKE, musisz go podwoić, gdy używasz go do zmiany innego znaku, takiego jak podwójny cudzysłów.
SELECT * FROM table_name WHERE column_name LIKE "%\\"%";
powinien pracować dla Ciebie.
podobnie jak zamiana podwójnych cudzysłowów na pojedyncze cudzysłowy, aby zawrzeć dosłowny
SELECT * FROM table_name WHERE column_name LIKE '%"%';
jak zamieściłeś tutaj