Nie jestem na maszynie z php, aby to przetestować, ale masz zapytania ze zmiennymi w następujący sposób...
"select id from votes where username = '$user' and article_id = $this->id"
Jestem prawie pewien, że podczas korzystania z obiektów konieczne jest łączenie w nawiasy lub konkatenację...
"select id from votes where username = '$user' and article_id = ${this->id}"
lub
"select id from votes where username = '$user' and article_id = " . $this->id
