AutoCompleteTextView z danymi MySQL

Potrzebujesz po prostu jakiegoś mechanizmu, który będzie "obserwował" zmiany w polu wprowadzania, a najpoprawniejszym sposobem, jak to osiągnąć, jest wspomniany TextWatcher

Więc zaimplementuj go w jakiejś metodzie, która zapewnia TextWatcher na przykład onTextChanged() , przypisz dane z pola wprowadzania i wyślij je jako parametr do AsyncTask oraz w onPostExecute() metoda utwórz nowy adapter dla swojego AutoCompleteTextView z danymi pobranymi z MySQL i przypisz Adapter do swojego widżetu i masz go.

Pseudokod:

public void onTextChanged(CharSequence s, int start, int before, int count) {
   if (s.length() > 1) {
      insertString = s.toString();
      new YourTask().execute(insertString);                  
   }
}

a w swoim AsyncTask wykonaj coś takiego:

protected List<String> doInBackground() {
   // fetchning data from MySQL
   return list;
}

public void onPostExecute(List<String> result) {
   if (!result.isEmpty()) {
       SomeAdapter adp = new SomeAdapter(context, layout, result);
       actv.setAdapter(adp);
   }
}

Uwaga: W twoim przypadku łatwiej jest wykonać AsyncTask wewnętrzna klasa twojego Activity klasy i masz bezpośredni dostęp do UI komponenty bez przekazywania ich przez konstruktor.