Spróbuj tego. Przeniesienie podzapytania do JOIN wydaje się rozwiązać problem. Myślę, że problem dotyczy podzapytania w klauzuli WHERE. Myślę, że w klauzuli WHERE wykonywane jest podzapytanie i funkcja RAND dla każdego rekordu. Prawdopodobnie dlatego wyniki są różne.
SELECT a.AlbumID,
Videos_Demo.VideoID,
VideosInAlbums_Demo.AlbumID
FROM VideosInAlbums_Demo
LEFT JOIN Videos_Demo
ON Videos_Demo.VideoID = VideosInAlbums_Demo.VideoID
JOIN
(
SELECT AlbumID
FROM VideosInAlbums_Demo
WHERE VideoID = '1'
ORDER BY RAND()
LIMIT 1
) AS a ON VideosInAlbums_Demo.AlbumID = a.AlbumID