Więc w zasadzie powinno działać coś takiego:
DB::table('departments')
->join('users','users.dept_id','=','departments.id')
->join('absences','users.id','=','absences.user_id')
->select('departments.id','departments.deptStringName', DB::raw("COUNT(*)"))
->groupBy('departments.id','departments.deptStringName')
->get();
Uwaga:Grupując według należy pogrupować według unikalnych wartości wiersza (np. identyfikatora). Jeśli nazwy Twoich działów są unikatowe, możesz całkowicie pominąć wybieranie i grupowanie według identyfikatora działu.