Wygląda na to, że nie wiem, jak zaktualizować mój czas ostatniego logowania

W zapytaniu tutaj:

UPDATE users_table SET 'date_last_inlog' = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Spróbuj usunąć cudzysłowy wokół date_last_inlog lub zamieniając je na backticki:

UPDATE users_table SET date_last_inlog = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Nie używaj także mysql_* funkcje, użyj mysqli lub PDO zamiast. Twój kod jest podatny na wstrzyknięcie SQL.