Jak wysłać zapytanie do mongodb za pomocą „polubienia” za pomocą java api?

Musisz przekazać instancję RegEx Java (java.util.regex.Pattern):

BasicDBObject q = new BasicDBObject();
q.put("name",  java.util.regex.Pattern.compile(m));
dbc.find(q);

Po wysłaniu na serwer zostanie on przekonwertowany na wyrażenie regularne MongoDB, jak również wszelkie flagi RegEx.