Używanie $push wewnątrz tablicy w manguście

To, do czego dążysz, nie jest prawidłową strukturą. Zamiast tego prawdopodobnie potrzebujesz schematu, w którym NetworkList bezpośrednio zawiera tablicę identyfikatorów ObjectId znajomych użytkownika:

var NetworkSchema = new Schema({
    UserID: {
        type: String,
        default: '',
        trim: true
    },
    NetworkList: [{
        type: Schema.ObjectId,
        ref: 'User'
    }]
});

Twoje dokumenty będą wtedy wyglądać tak:

{
    "_id" : ObjectId("548adbc8b7eac44013bf188d"),
    "NetworkList" : [ 
        ObjectId("5486fab40bc27314276be8cf") 
    ],
    "UserID" : "547eaaab6c39471c3f5aebb6",
    "__v" : 0
}

Następnie możesz dodać nowego przyjaciela do NetworkList za pomocą $push operator w ten sposób:

exports.update = function(req, res) {
    var query={'UserID': req.body.UserID};
    var update = {$push: {'NetworkList': req.body.FriendID}};

    Network.findOneAndUpdate(query, update, function(err, doc){ ... });
};