zapytanie mongo - czy istnieje właściwość?

Nie możesz bezpośrednio użyć zmiennej jako klucza obiektu, więc musisz zmienić go na coś takiego:

var name = 'a/name';
var query = {};
query['properties.source.' + name] = {$exists: true};
collection.find(query).toArray(function...