Nie znaleziono odpowiedniego sterownika dla 'jdbc:mysql://localhost:3306/mysql

W tym konkretnym przypadku (zakładając, że Class#forName() nie zgłosił wyjątku; Twój kod jest kontynuacją działania zamiast rzucania wyjątek), ten SQLException oznacza, że ​​Driver#acceptsURL() zwrócił false dla dowolnego załadowanego sterownika.

I rzeczywiście, Twój adres URL JDBC jest nieprawidłowy:

String url = "'jdbc:mysql://localhost:3306/mysql";

Usuń pojedynczy cytat:

String url = "jdbc:mysql://localhost:3306/mysql";

Zobacz też:

• Mini samouczek dotyczący łączności MySQL + JDBC