Jeśli chcesz zobaczyć, co jest uruchamiane w bazie danych, użyj dd(DB::getQueryLog())
aby zobaczyć, jakie zapytania zostały uruchomione.
Wypróbuj to
BookingDates::where('email', Input::get('email'))
->orWhere('name', 'like', '%' . Input::get('name') . '%')->get();