Powinieneś traktować to jako tablicę w ten sposób,
<input name="checkbox[]" type="checkbox" value="<?php echo $row['link_id']; ?>">
Tylko wtedy możesz wziąć jego liczbę i zapętlić w celu usunięcia.
Musisz także przekazać połączenie z bazą danych do zapytania.
$result = mysqli_query($dbc, $sql);
Twój nie zawierał tego:
$result = mysqli_query($sql);
