MySql Query:Wybierz górne 3 wiersze z tabeli dla każdej kategorii

LIMIT zatrzymuje tylko liczbę wyników zwracanych przez instrukcję. To, czego szukasz, to ogólnie funkcje analityczne/okienkowe/rankingowe – których MySQL nie obsługuje, ale możesz emulować za pomocą zmiennych:

SELECT x.*
  FROM (SELECT t.*,
               CASE 
                 WHEN @category != t.category THEN @rownum := 1 
                 ELSE @rownum := @rownum + 1 
               END AS rank,
               @category := t.category AS var_category
          FROM TBL_ARTIKUJT t
          JOIN (SELECT @rownum := NULL, @category := '') r
      ORDER BY t.category) x
 WHERE x.rank <= 3

Jeśli nie zmienisz SELECT x.* , zestaw wyników będzie zawierał rank i var_category wartości - będziesz musiał określić kolumny, które naprawdę chcesz, jeśli tak nie jest.