tabela jest podana dwukrotnie zarówno jako cel dla INSERT, jak i jako oddzielne źródło danych

MySQL robi zezwól na użycie tej samej tabeli jako źródła i celu dla inserts . Musisz tylko użyć prawidłowej składni:

INSERT INTO data_waktu_vaksinasi (id_binatang, id_vaksin, tanggal_vaksin, status_vaksin) 
     SELECT 1, 1, DATE_ADD(max(tanggal_vaksin), INTERVAL 1 YEAR), 'belum'
     FROM data_waktu_vaksinasi;