Unikasz $ w zmiennej, wykonując \$ .Spróbuj:
$query = "SELECT * FROM `cats` WHERE name='$name'";
EDYTUJ
Z poniższej dyskusji.
Problem z undefined index to fakt, że używasz $row['age'] kiedy tak naprawdę nazwa kolumny w bazie danych to Age . Dlatego musisz użyć $row['Age'] w odniesieniu do pozycji. To samo dotyczy name .