Jak zaktualizować Bazę Danych podczas zaznaczania checkboxa za pomocą jquery?

Prawie to masz. wystarczy przeczytać stan pola wyboru i odesłać go z żądaniem POST.

$(function(){
    $("#myonoffswitch").click(function(){
        var isOn = $("#myonoffswitch").prop("checked");
        $.post("notification.php", { 'onoffswitch': isOn }, function (result) {
            //handle success here
        });
    });