Rozmawiałem więc z przedstawicielem Heroku. Potwierdzili mi, że nie wymaga żadnego konkretnego poziomu konta, aby połączyć się z bazą danych Heroku Postgres, jedynym zastrzeżeniem jest to, że połączenie używa SSL podczas zdalnego łączenia. Więc mój problem jest wynikiem tego, że pgsql nie ma obsługi SSL w mojej kompilacji php.
