Zmień kolejność wierszy w tabeli MySQL

Musisz to zrobić w dwóch krokach:

UPDATE MyTable 
   SET `Order` = `Order` + 1 
 WHERE `Order` > (SELECT `Order` 
                    FROM MyTable 
                   WHERE ID = <insert-after-id>);

...co przesunie numer zamówienia każdego wiersza dalej w dół listy niż osoba, po której wstawiasz.

Następnie:

INSERT INTO MyTable (Name, `Order`)
VALUES (Name, (SELECT `Order` + 1 FROM MyTable WHERE ID = <insert-after-id>));

Aby wstawić nowy wiersz (przy założeniu, że identyfikator jest automatycznym przyrostem), z numerem zamówienia o jeden więcej niż numer osoby, po której wstawiasz.