jak usunąć rekordy z bazy danych za pomocą Ajax

<td style="width:62px" class="deletesuppliernetwork '.$rows["id"].'"><img   src="/image/delete.png" style="margin:0 0 0 17px" ></td>     

indeks twojego identyfikatora to 1, czyli drugi indeks. nie 2.

$.ajax({
        type: "POST",
        url: "suppliernetwork/delete.php",
        data: "rowid="+arr[1]+"&supplier="+supplier,
        success: function(data){
                                                         $('.ajax').html($('.ajax input').val());
                                                         $('.ajax').removeClass('ajax');
                                                    }});