Musisz tylko wykluczyć tych, którzy są bezpośrednimi przyjaciółmi, a także przyjaciółmi znajomych. Zmieniłem aliasy tabeli, aby było trochę jaśniejsze (przynajmniej dla mnie), co jest pobierane:
SELECT
u.*
FROM
user u
INNER JOIN friend ff ON u.user_id = ff.friend_id
INNER JOIN friend f ON ff.user_id = f.friend_id
WHERE
f.user_id = {$user_id}
AND ff.friend_id NOT IN
(SELECT friend_id FROM friend WHERE user_id = {$user_id})
Eliminuje również potrzebę wykluczenia identyfikatora użytkownika, którego dotyczy zapytanie.