W zapytaniu w php występuje prosty błąd składniowy, po prostu przepisz go jako:
$query = mysql_query("SELECT staff_name FROM subject WHERE course_name = '".$_POST['sub']."'");
gdziekolwiek przekazujesz dane inne niż liczby, zawsze używaj pojedynczego cudzysłowu, takiego jak 'myData'
aby otoczyć wartości.