Powinieneś użyć mysql_result i uzyskać pierwszą kolumnę wyniku. Tak:
$result = mysql_query("SELECT COUNT(user) FROM game_paths WHERE user='$user'");
$count = mysql_result($result, 0);
Możesz również aliasować kolumnę w ten sposób:
$result = mysql_query("SELECT COUNT(user) AS total FROM game_paths WHERE user='$user'");
$data = mysql_fetch_assoc($result);
$count = $data['total'];
Co może być lepsze, jeśli zamierzasz wybrać kilka kolumn jednocześnie, a także dla czytelności.