Czy data w niektórych okresach?

Ta funkcja powinna robić to, co chcesz. Polega na tym, że MySQL traktuje wyniki logiczne jako 1 lub 0 w kontekście numerycznym, stąd MAX wywołanie skutecznie staje się OR wszystkich warunków.

CREATE FUNCTION check_activity(project_id INT, check_date DATE)
RETURNS BOOLEAN
DETERMINISTIC
BEGIN
  RETURN (SELECT MAX(check_date BETWEEN ActiveFrom AND ActiveTo) FROM projects WHERE ProjId = project_id);
END
SELECT check_activity(20, '2018-01-10'), check_activity(20, '2018-02-01')

Wyjście

check_activity(20, '2018-01-10')    check_activity(20, '2018-02-01')
1                                   0

Demo na dbfiddle